Lin Bairstow

Definición:

El método de  Lin Bairstow es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático f2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x). El procedimiento general para el método de Lin Bairstow es:

  1. Dado fn(x) y r0 y s0
  2. Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x – s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.
  3. Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.
  4. Se calcula  fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).
  5. Hacemos fn(x)= fn-2(x)
  6. Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
  7. Si no terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado

fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el siguiente polinomio

fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2

con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo son.

Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia

bn = an
bn-1 = an-1 + rbn
bi = ai + rbi+1 + sbi+2

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor


donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr ds que hacen a b1(r+dr, s+ds) y b0(r+dr, s+dr) igual a cero. El sistema de ecuaciones que  tenemos que resolver es:



Bairtow muestra que las derivadas parciales se pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así

cn = bn
cn-1 = bn-1 + rcn
ci = bi + rci+1 + sci+2



Ejemplo 1

Dado el polinomio f5(x) =  x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los  valores de r y s que hacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.

Solución.

Iteración 1

La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado

f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125     Residuo = {30.75, -61.75}

Aplicando el método de Newton tenemos


-43.875
16.75

dr

-30.75
108.125
-43.875

ds

61.75

de donde

r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.763
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403

Iteración 2

 La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.763x - 7.403 da como resultado

f3(x) = x3 -  1.736x2 + 7.091x - 1.776

 Residuo = {51.756, 105.685}

Aplicando el método de Newton tenemos

27.628
14.542

dr

-51.756
208.148
27.628

ds

-105.685

de donde

r2 = 1.7636 - 0.047 = 1.716
s2 = 7.403 - 3.469 = 3.934

Iteración 3

 La división sintética con el polinomio f2(x)=  x2 - 1.716x - 3.934 da como resultado

f3(x) = x3 - 1.783x2 + 3.622x + 1.326

Residuo = {12.654, 28.188}

Aplicando el método de Newton tenemos

13.834
7.441

dr

-12.654
65.679
13.834

ds

-28.188

de donde

r3 = 1.716 - 0.116 = 1.599
s3 = 3.934 - 1.483 = 2.450

En resumen,

k
r
s
Residuo
0
-1
2
30.75
-61.75
1
1.763
7.403
51.756
105.685
2
1.716
3.934
12.654
28.188
3
1.599
2.450
2.899
8.154
4
1.333
2.186
0.760
2.522
5
1.118
2.113
0.271
0.607
6
1.027
2.023
0.043
0.111
7
1.001
2.001
0.002
0.006
8
1.000
2.000
1.139E-5
2.675E-5

La solución es:

f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625  y f2(x) = x2 - x - 2

Las raíces de f2(x) = x2 - x - 2, son

x1 = 2
x2 = -1


Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 - 2.53x2 + 2.25x - 0.625 , podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.



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